Teoria stanu odkształcenia

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Z założenia małych przemieszczeńxywynika, że tg� H"� oraz tg � H" � , a stąd zgodnie z definicją odkształceń kątowych:55Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów.Teoria stanu odkształcenia.�� " v �� " u �� v + dx�� - v �� + dy�� - u �� u" u " v�� " x �� + �� " y �� = lim (� + � )= lim = +xy�� dx�!O i dy�!O dx�!O i dy�!Odx dy " y " x�� Prowadząc analogiczne rozważania w pozostałych dwóch płaszczyznach ostatecznieotrzymamy związki wiążące odkształcenia z przemieszczeniami w postaci:" u " u " v� = , � = +x xy" x " y " x" v " v " w� = , � = + (6.15)y yz" y " z " y" w " w " u� = , � = +z zx" z " x " zWidzimy więc, że znajomość pola przemieszczeń konstrukcji, tj.znajomość funkcji u (x, y, z),v(x, y, z), w(x, y, z) pozwala poprzez proste różniczkownie wyznaczyć macierz odkształceń wdowolnym jej punkcie.I odwrotnie - znajomość odkształceń, poprzez całkowanie, pozwalawyznaczyć pole przemieszczeń, przy czym w tym przypadku muszą być jeszcze określonekinematyczne warunki brzegowe nałożone na analizowaną konstrukcję.Równania geometryczne (6.9) nazywamy również równaniami Cauchy ego.Są one słuszneprzy założeniu, że przemieszczenia punktów analizowanych konstrukcji są małe (co jużzałożyliśmy przyjmując zasadę zesztywnienia) i małe są również ich pierwsze pochodne.To drugie ograniczenie w ogólnie występujących konstrukcjach inżynierskich jestpowszechnie spełnione co pokazuje poniższy przykład belki.Polska Norma BudowlanaPN-90/B-03200 ogranicza maksymalne ugięcie głównej belki stropowej do wielkości l/350.Stąd największa wartość pochodnej linii ugięcia wyniesie w przybliżeniu:wmax =l 350X" w l 350H" = 0.0057" x l 2l 2ZRys.6.86.7.Równania nierozdzielności odkształceńAatwo można zauważyć z równań geometrycznych, że trzy odkształcenia w płaskim stanieodkształcenia:" u " v " u " v� = , � = , � = +x y xy" x " y " y " xwyrażają się poprzez dwie współrzędne wektora przemieszczenia co wskazuje, żeodkształcenia są związane jakąś zależnością.Aby ją wyznaczyć zróżniczkujmy każde z nichdwukrotnie z tym, że pierwsze względem y, drugie względem x , trzecie względem x i y anastępnie dodajmy stronami otrzymując w wyniku równanie:56Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów.Teoria stanu odkształcenia."2 � "2 �"2 �y xyx+ = (6.16)" x " y" y2 " x2które nazwiemy równaniem nierozdzielności odkształceń.Jego intepretację fizyczną obrazuje rys.6.9.Z geometrycznej reprezentacji macierzyodkształceń wynika, że w każdym punkcie płaskiej tarczy określa ona deformacje dowolniemałego jednostkowego kwadratu.Jeśli odkształcenia zadane zostaną zupełnie dowolnie to niebędzie zachowanej ciągłości tarczy w konfiguracji początkowej i zdeformowanej jak toobrazuje przypadek a na rys.6.9.Odkształcenia spełniające równania nierozdzielnościodkształceń dają konfigurację po deformacji zachowującą ciągłość tarczy jak pokazujeprzypadek b.konfiguracjabapoczątkowaRys.6.9Można więc powiedzieć, że równania nierozdzielności stanowią warunki konieczne, któremuszą spełniać funkcje aby mogły być współrzednymi przemieszczeń.W przestrzennym stanie odkształcenia jest sześć równań nierozdzielności odkształceń.6.6.Względna zmiana objętości w punkcieRozważmy przestrzenny stan odkształcenia w punkcie, określony poprzez odkształceniagłówne.Zatem macierz odkształceń będzie miała postać:�1 0 0�� 3T� =�� 0 �2 0 ,��0 0 �3 �� a jej graficzny obraz pokazuje rysunek obok."3(1+ �3)Objętość dowolnie małego sześcianureprezentującego rozważany punkt wkonfiguracji początkowej, przedstawia się2następująco :Vo = "1 "2 "3."1(1+ �1)1Jego objętość po deformacji wynosi:"2(1+ �2 )V = "1 (1+ �1)"2 (1+ �2 )"3 (1+ �3)Względną zmianę objętości w punkcie wyznacza granica:57Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów.Teoria stanu odkształcenia.lim -VoVD = =(1+ �1)(1+ �2 )(1+ �3)-1 = �1 + �2 + �3 + �1�2 + �2�3 + �3�1 + �1�2�3Vo �! 0 VoPo pominięciu iloczynów odkształceń jako małych wyższego rzędu otrzymamy:D = �1 + �2 + �3a ponieważ suma odkształceń liniowych jest niezmiennikiem to względna zmiana objętości wpunkcie wynosi:D = � + � + � (6.19)x y zWielkość D często nazywana jest dylatacją.6.8.Przykłady�Przykład 6.8.1.Wyznaczyć odkształcenia główneYi ich kierunki w punkcie C płaskiej tarczy wktórym wyznaczono przy pomocy tensometrów45oelektrooporowych odkształcenia linioweC� ,� ,�� w trzech kierunkach pokazanych na rys.Xx yRozwiązanieAby zastosować wzory (6.12) i (6.13) potrzebujemy znać �.Wyznaczymy to odkształceniexykątowe, wykorzystując znane odkształcenie liniowe włokna pod kątem 45�� + � � - �1x y x y�� =45o = �� = + cos(2* 45o)+ � sin(2 * 45o)xy2 2 2� + �1x y�� = + � �! � = 2�� -(� + � )xy xy x y2 222� + � � - � �� + � �� x y x y x y�� = + + - �� max �� ,2 2 2�� 22� + � � - � �� + � �� x y x y x y� = - �� + - �� min �� ,2 2 2�� 2�� -(� + � ) 2�� -(� + � )x y x ytg� = - , tg�min = -.max2(� - � ) 2(� - � )y max y minUkłady czujników tensometrycznych do pomiaru odkształceń liniowych w ustalonychkierunkach nazywamy rozetami.Przykład 6.8.2.Dowieść, że możliwy jest stan odkształcenia w płaskiej tarczy gdy elementymacierzy odkształceń określają zależności� = k(x2 + y2 ); � = k y2 ; � = 2k x yx y xy58Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów.Teoria stanu odkształcenia.RozwiązanieSprawdzamy równanie nierozdzielności, które stanowią warunki konieczne na to aby danefunkcje mogły określać odkształcenia."2� "2�"2�y xyx+ = �! 2k + 0 = 2k" x " y" y2 " x2Równanie nierozdzielności jest spełnione i możliwy jest stan odkształcenia określonypowyższymi funkcjami.Przykład 6.8.3.Sprawdzić czy poniższe funkcje , mogą być funkcjami odkształceń� = (x2 + y ); � = y2 ; � = 2 x yx y xyRozwiązanieRównanie nierozdzielności odkształceń w tym przypadku daje:"2� "2�"2�y xyx+ = �! 0 + 0 `" 2" x " y" y2 " x2co dowodzi, że powyższe funkcje nie mogą być funkcjami odkształceń.59 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

Linki