wieczorek logika dla opornych (2)

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.W tym34momencie natykamy się na coś dziwnego.Okazuje się otrzymaliśmy fałszywą implikację,której zarówno poprzednik, jak i następnik są zdaniami prawdziwymi.Ale przecież sytuacjataka jest całkowicie niezgodna z tabelkami! Otrzymaliśmy ewidentną sprzeczność coś, conie ma prawa wystąpić:(p '" q) �! (p �! q)1 1 1 0 1 0 1O czym może świadczyć pojawienie się sprzeczności? Aby to zrozumieć, dobrze jestprześledzić cały tok rozumowania od samego początku.Założyliśmy na początku 0 podgłównym spójnikiem całej formuły.Następnie wyciągaliśmy z tego konsekwencje, wpisującwartości, które musiałyby by się pojawić, aby założone 0 faktycznie mogło wystąpić.Postępując w ten sposób doszliśmy do sprzeczności.Wynika z tego, że nasze założenie niedaje się utrzymać.Zero pod głównym spójnikiem nie może się pojawić, ponieważprowadziłoby to do sprzeczności.A skoro pod głównym spójnikiem nie może być nigdy 0, toznaczy że zawsze jest tam 1, a to z kolei świadczy, że badana formuła jest tautologią.Tautologiczność formuły wykazana została w jednej linijce.Po prostu zamiastpokazywać, że badany schemat zawsze daje zawsze zdania prawdziwe, udowodniliśmy, żenie może wygenerować on zdania fałszywego.UWAGA!Sposób, w jaki rozwiązany został powyższy przykład, nie jest jedynym możliwym.Zobaczmy, jak można to było zrobić inaczej.Rozpoczynamy tak samo, wpisując 0 pod główną implikacją, a następnie 1 przy jejpoprzedniku i 0 przy następniku:(p '" q) �! (p �! q)1 0 0Zauważmy teraz, że wcale nie musimy zaczynać od prawdziwej koniunkcji w pierwszymnawiasie.Również w drugim nawiasie mamy bowiem tylko jedną możliwość wpisaniakombinacji zer i jedynek.Aby umieszczona tam implikacja była fałszywa, prawdziwy musibyć jej poprzednik, a fałszywy następnik:(p '" q) �! (p �! q)1 0 1 0 035Gdy przepiszemy teraz otrzymane wartości zmiennych do pierwszego nawiasuotrzymamy:(p '" q) �! (p �! q)1 1 0 0 1 0 0Okazuje się, że tym razem również otrzymujemy sprzeczność, tyle że w innym miejscu:(p '" q) �! (p �! q)1 1 0 0 1 0 0Użyteczna wskazówka:Gdy sprawdzamy, czy formuła jest tautologią przy pomocy metody skróconej, nie jestistotne, gdzie pojawi się sprzeczność.Często może ona wystąpić w różnych miejscach, wzależności od tego, w jakiej kolejności wpisywaliśmy symbole 0 i 1 do formuły.Wracając do omawianego przykładu, zobaczmy jeszcze inny sposób, w jaki sprzecznośćmogła się ujawnić.Zaczynamy tak jak poprzednio:(p '" q) �! (p �! q)1 0 0Teraz zauważamy, że obu nawiasach mamy tylko jedną możliwość wpisania kombinacji0 i 1 jedynek, więc je od razu jednocześnie wpisujemy:(p '" q) �! (p �! q)1 1 1 0 1 0 0Tym razem również sprzeczność wystąpiła, choć może nie jest to widoczne na pierwszyrzut oka.Zmienna q okazuje się w jednym miejscu reprezentować zdanie prawdziwe, ajednocześnie w innym fałszywe.Taka sytuacja oczywiście nie jest możliwa.(p '" q) �! (p �! q)1 1 1 0 1 0 0Ponieważ dla właściwego posługiwania się skróconą metodą zero-jedynkową ważne jestzrozumienie całego toku rozumowania z nią związanego, przedstawimy go jeszcze raz.Gdy chcemy dowiedzieć się, czy schemat jest tautologią, zaczynamy od postawieniasymbolu 0 pod głównym spójnikiem, aby sprawdzić, czy formuła może choć w jednymprzypadku wygenerować zdanie fałszywe.Następnie wpisujemy zgodnie z tabelkami dla odpowiednich spójników symbole 0 i 1, wtaki sposób w jaki musiałyby one występować, aby zero pod głównym spójnikiem mogło siępojawić.Czyniąc to wpisujemy tylko to, co wiemy na pewno.Gdy w jakimś miejscu mamy36dwie lub trzy możliwości wpisania symboli, nie wpisujemy tam chwilowo nic i przechodzimydalej, szukając miejsca, gdzie jest tylko jedna możliwość.Gdy symbol 0 lub 1 pojawi się pod jaką zmienną zdaniową, przepisujemy go wszędzietam, gdzie dana zmienna występuje w formule.Na końcu sprawdzamy, czy w naszej formule nie pojawiła się przypadkiem sprzeczność(czy wszystko jest zgodne z tabelkami, czy też nie).Jeżeli sprzeczność (niezgodność ztabelkami) ma się gdzieś pojawić, to dzieje się to na ogół tam, gdzie w ostatnim krokuprzepisaliśmy wartości zmiennych.Jeżeli sprzeczności nigdzie nie ma, to znaczy, że formułamoże okazać się schematem zdania fałszywego (takie założenie na początku przyjęliśmywpisując 0 pod głównym spójnikiem), a wiec nie jest ona tautologią.Gdy natomiast wformule pojawi się sprzeczność, oznacza to, że nie może ona wygenerować zdania fałszywego(przyjęte na początku założenie nie daje się utrzymać), a zatem jest ona tautologią.DO ZAPAMITANIA.Jeszcze raz cała procedura w telegraficznym skrócie:1.Zakładamy 0 pod głównym spójnikiem.2 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

Linki